Бесконечно удаленная особая точка в ТФКП

§17. Бесконечно удаленная особая точка.

Определение. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости называется изолированной особой точкой  однозначной аналитической функции f(z), если вне круга некоторого радиуса R,

т.е. при  ,  нет ни одной конечной особой точки функции f(z).

   Для исследования функции в бесконечно удаленной точке сделаем замену   Функция

 будет иметь особенность в точке ζ = 0, причем эта точка будет изолированной, так как

внутри круга    других особых точек по условию нет. Являясь аналитической в этом

круге (за исключением т. ζ = 0 ),  функция  может быть разложена в ряд Лорана по степеням  ζ.  Классификация, описанная в предыдущем параграфе полностью сохраняется.

Бесплатная лекция: "Снежный покров: характеристики и методы измерения" также доступна.

Однако, если вернуться к исходной переменной  z , то ряды по положительным и отрицательным степеням  z  ‘поменяются’ местами. Т.е. классификация бесконечно удаленных точек будет выглядеть следующим образом:

1) Ряд Лорана функции  f(z)  не имеет слагаемых с положительными степенями:  −  устранимая особая точка:  Если, при этом, сумма начинается с  n = m > 0, то  z = ∞  ноль  m−го порядка.

2) Ряд Лорана функции  f(z)   имеет конечное число слагаемых с положительными степенями: − полюс  m−го порядка:

3) Ряд Лорана функции  f(z)   имеет бесконечное число слагаемых с положительными степенями: существенно особая точка. Вне любого круга радиуса  R  функция  f(z)  принимает все комплексные значения.

Примеры.  1. .   Точка  z = i  −  полюс 3-го порядка. 

                   2. . Точка  z = ∞  − существенно особая точка.