Ответы к тесту/контрольной: Введение в математическое программирование

Согласно какому методу после вычисления в начальной точке градиента функции делают в направлении антиградиента не маленький шаг, а движутся до тех пор, пока функция убывает?

Если существует такой небазисный вектор, для которого все элементы столбца неположительны, а целевая функция задачи в области допустимых решений неограниченна, то для такого вектора оценка:

Предположим, что имеется интервал неопределенности (x1; x3) и известно значение f(x2) внутри этого интервала. Положим x2–x1 = L и x3–x2 = R, L > R. Если x4 находится в интервале (x1; x2) и новым интервалом неопределенности будет (x1; x2) длиной x2–x1 = L, то:

Если x0 и y0 допустимые решения прямой и двойственной задач и при этом x0 и y0 – оптимальные решения пары двойственных задач, то справедливо соотношение:

Задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σсixi, i=1,...,n. В векторной форме ограничения задачи имеют вид:

Если для табличного симплекс – метода в качестве начального базиса выбирают базис из свободных переменных, для которых ci = 0, и оценки для всех небазисных переменных равны Δj=a0j=-cj, то соответствующее значение целевой функции определяется соотношением:

Функция f(x) является строго квазивыпуклой, если для всех действительных x1, x2 таких, что f(x1) ≠ f(x2) и λ є (0;1) выполняется неравенство:

Задана целевая функция Z=30x1+40x2 →​ max и ряд ограничений 12х1+4х2≤300, 4х1+4х2≤120, 3х1+12х2≤252, х1,х2≥0. Найти решение задачи.

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(3-x)2→​min, без ограничения?

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. Если в точке x' функция F(x) имеет максимум, и F'(x) является убывающей функцией, то F'(x) в окрестности x':

Пусть функция f(x) определена на непустом и выпуклом множестве R. При этом для функции f(x) выполняется условие: для любых x1, x2 є R и λ є [0;1] f(λx1 + (1–λ)x1) ≤ max{f(x1),f(x2)}. Тогда функция f(x):

Двойственная задача линейного программирования имеет вид: минимизировать Σbiyi, i=1,...,m при условиях Σаijyi≥cj, j=1,...,n1≤n; Σаijyi=cj, j=n1+1, n1+2,...,n. Тогда прямая задача имеет вид:

Пусть дана прямая задача: максимизировать Σcjxj, j=1,...,n при ограничениях Σaijxj≤b, i=1,...,m, xj≥0, j=1,...,n. Если оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно нулю, то в оптимальном решении данной задачи i–е ограничение выполняется:

Если значения целевой функции прямой задачи никогда не превышают значений целевой функции двойственной задачи, т.е. cTx0≤bTy0, то допустимые решения прямой и двойственной задач имеют вид:

С чем связана сходимость метода штрафных функций?

Квазиньютоновские методы обладают чертами метода Ньютона, но используют только ...?

Если штраф создает барьер из больших значений Р вдоль границы допустимой области, эти методы называются...?

Что из ниже перечисленного является ограничением в виде равенства?

Пусть требуется изготовить 90 деталей. Их можно изготовить двумя технологическими способами: 1 способ: х1+3х12, 2 способ: 2х2+х22. Затраты связаны функциональной зависимостью. Сколько изделий может быть изготовлено каждым способом?

Как называются функции с двумя и более локальными минимумами?

В чем состоит основная идея метода градиентного спуска?

Чему будет равняться функция в точке образа, если базисная точка b1 = 2, а b2 = 5?

Пусть в некоторой точке x0 достигается внутренний относительный минимум, и сама функция при этом в окрестности точки x0 строго выпукла. Тогда точка x0:

n – мерный вектор x, для которого xi=xi0 при i є Iδ, и xj=0 при i ∉ Iδ, и при этом выполняются условия: Δj ≥ 0, j=1,...,n;, называется:

Множество R(x) всех векторов x, которые удовлетворяют условиям: a11x1 + a12x2+...+a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2+...+a2nxn ≤ b2 ......................... am1x1 + am2x2+...+amnxn ≤ bn, x1≥0,x1≥0,...,xn≥0, является:

Задача линейного программирования сформулирована в матричной форме: максимизировать cTx при ограничениях Аx≤b; x≥0;. Тогда ограничения имеют вид:

Если оптимальное значение переменной прямой задачи равно нулю, то в оптимальном решении двойственной задачи ограничение j выполняется как:

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), что соответствует монотонности ее первой производной. Известно, что если функция F(x) имеет локальный минимум (максимум) в точке x', то в этой точке градиент функции F(x):

Если направление, противоположное направлению градиента, характеризуется наискорейшим убыванием функции, то направление градиента:

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(x-2)2→​min, с ограничением х≥4?

Какой будет линия профиля при С = 0?

Основная идея метода штрафной функции состоит в...?

Методы внешней точки генерируют последовательность точек, которые...?

Пусть требуется изготовить 180 деталей. Их можно изготовить двумя технологическими способами: 1 способ: 4х1+х12, 2 способ: 8х2+х22. Затраты связаны функциональной зависимостью. Сколько изделий может быть изготовлено каждым способом?

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(x-4)2→​min, с ограничением х≥4?

Какое из приведенных ниже соотношений характеризует выпуклую функцию f(x) на выпуклой области X:

Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла также называют

Какие функции принято считать многоэкстремальными?

К чему сводит ме¬тод покоординатного спуска задачу поиска наименьшего значения функции нескольких переменных

В каком методе поиск состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки, за которой в случае успеха следует поиск по образцу.

Пусть имеется начальный интервал (a; b), который имеет длину L = b – a. Согласно метода Фибоначчи интервал неопределенности имеет длину Ln = L1/Fn + ξ(Fn–2/Fn). Это значит, что:

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), что соответствует монотонности ее первой производной. Если в точке экстремума x' функция F(x) имеет минимум, то производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с отрицательного на положительный, т.е. F'(x) является возрастающей функцией, значит:

Если для пары векторов x*, Δ*, которая носит название седловой точки функции Лагранжа L(x,Δ), выполняется условие L(x*,Δ) ≤ L(x*,Δ*) ≤ L(x,Δ*), то оно справедливо:

Для того, чтобы в точке x0 достигался внутренний относительный минимум, достаточно, чтобы эта точка была стационарной, а сама функция в окрестности точки x0 была:

Если симплекс – метод не требует нахождения начального базисного решения (опорного плана), то он является:

Если x0 и y0 – допустимые решения прямой и двойственной задач, т.е. Ax0≤b и ATy0≥c, то:

Для табличного симплекс – метода в качестве начального базиса выбран базис из свободных переменных, для которых ci = 0. Соответствующее значение целевой функции определяется соотношением a00 = Σcixi = 0, i є I. Тогда оценки для всех небазисных переменных равны:

Пусть задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σсixi, i=1,...,n при условиях a11x1 + a12x2+...+a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2+...+a2nxn ≤ b2 (1) ......................... am1x1 + am2x2+...+amnxn ≤ bn, x1≥0,x1≥0,...,xn≥0. Тогда допустимым множеством решений задачи называется:

Если вторая производная функции у = f(х) в данном промежутке положительна, то кривая...?

Функция f(x) достигает глобального (абсолютного) максимума в точке x0, если для всех точек x є R справедливо:

Пусть f(x) – строго квазивыпуклая функция. Рассмотрим задачу минимизации f(x) при условии, что x є R, где R – непустое выпуклое множество в Е(n). Если некоторая точка x' является точкой глобального минимума рассматриваемой задачи, то x' одновременно является:

Множество точек S1(x1,...,xn) функции f(x) называется множеством стационарных точек, если они удовлетворяют условию:

Пусть функция вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. Если в точке x' функция F(x) имеет минимум, и F'(x) является возрастающей функцией, то F'(x) в окрестности x':

Найти решение задачи f(x)=(x1-2)4+(x1+2x2)2 →​ min, x(0)=(0,3)T методом Коши.

Дана функция F(x). Пусть x' доставляет минимум функции F(x) на интервале [a; b] с заданной точностью ξ. Известно, что F1 и F2 - значения функции F(x) в окрестности ±ξ вычисленной точки x=(a+b)/2. Если F1 < F2, то:

Пусть имеется начальный интервал (a; b), который имеет длину L = b – a. Согласно метода Фибоначчи:

Чему будет равняться коэффициент растяжения γ, если известно, что x0 = 5, xe = 3, xr = 6?

Если прямая и двойственная задачи имеют допустимые решения, то:

Если в оптимальном решении некоторой задачи ограничение j выполняется как строгое неравенство и при этом оптимальное значение переменной прямой задачи равно нулю, то данная задача является:

Как называется множество точек, с координатами [x1,x2] для которых целевая функция F(X) имеет постоянное значение?

Какие существуют типы штрафов?

Метод штрафных функций генерирует последовательность недопустимых решений, которая приближается к оптимальному решению?

Параметрические методы подразделяются на...?

Как называются промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз?

Задана целевая функция Z=25x1+20x2 →​ max и ряд ограничений 8х1+3х2≤400, 3х1+2х2≤80, 5х1+7х2≤200, х1,х2≥0. Найти решение задачи.

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(x-4)2→​min, без ограничения?

Функция f(x) является выпуклой на выпуклой области X, если для всех x1, x2 ∈ X выполняется соотношение:

Метод градиентного спуска предполагает движение:

Чему будет равняться коэффициент растяжения γ, если известно, что x0 = 4, xe = 1, xr = 3?

Если при проверке сходимости а < σ, то это означает?

Известно что x0 = 5, xr = 8, xh = 6. Чему будет равен коэффициент отражения α?

Чему будет равняться функция в точке образа, если базисная точка b1 = 4, а b2 = 8?

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. Согласно метода Ньютона, начальные приближения x выбирают в такой точке интервала [a; b], где знаки функции f(x) и ее кривизны f''(x) совпадают, т.е. выполняется условие:

Пара векторов x*, Δ* называется седловой точкой функции Лагранжа L(x,Δ), если при всех Δ ≥ 0, x є Rn выполняется условие:

Пусть некоторое открытое множество Rn содержит точку x*. Известно, что x* является точкой минимума функции f(x) при ограничениях gi(x) ≤ 0, i=1,...,m, удовлетворяющих условию регулярности в виде линейной независимости векторов Δgi(x*), и существуют такие неотрицательные множители Лагранжа λ1,...,λm, что Δf(x*) + ΣλiΔgi(x*) = 0;Σλigi(x*) = 0, λi ≥ 0, i = 1,...,m. Тогда функции gi(x), i = 1,...,m:

Пусть задача нелинейного программирования задана в виде: минимизировать f(x1,...,xn) при условияхh1(x1,...,xn) = 0;h2(x1,...,xn) = 0;...............hm(x1,...,xn) = 0. Допустим, что существует такая точка x*, в которой достигается относительный экстремум данной задачи.Известно, что существуют m чисел λ1,...,λn, не все из которых равны нулю одновременно, и при которых Δf(x*) + ΣλiΔhi(x) = 0, i = 1,...,m. Тогда:

Если функции f1(x), f2(x),...,fp(x) выпуклы (вогнуты) на множестве Ri, то функция g(x) = Σkifi(x), i=1,...,p также выпукла (вогнута) при условии:

Пусть R – выпуклое множество точек n – мерного пространства. Функция f, определенная на R, удовлетворяет условиям: для любых x1, x2 є R и 0 ≤ k ≤ 1 f[kx1+(1–k)x2] ≤ kf(x1)+(1–k)f(x2). Тогда функция f называется:

Если для всех точек x є R некоторой функции f(x) справедливо неравенство f(x0) ≥ f(x), то функция f(x):

Псевдоплан x={xi0} является оптимальным решением прямой задачи, если среди его базисных компонентов:

Если x' и y' – допустимые решения пары двойственных задач и при этом выполняется равенство Σcjx'j+Σcj(x'j–x'j+n2) = Σbiy'i + Σbi(y'i–y'i+m2), то x' и y':

Если прямая и двойственная задачи имеют допустимые решения, и при этом двойственная задача имеет оптимальное решение, то:

Пусть дана прямая задача: максимизировать Σcjxj, j=1,...,n при ограничениях Σaijxj≤b, i=1,...,m, xj≥0, j=1,...,n. Если в оптимальном решении данной задачи i–е ограничение выполняется как неравенство, то оптимальное значение соответствующей двойственной переменной:

Если задача линейного программирования содержит n переменных и m ограничений, не считая ограничений неотрицательности переменных xi ≥ 0, и в оптимальное решение входит не более чем m ненулевых компонент вектора x, то выполняется условие:

В матричной форме задача линейного программирования записывается следующим образом:

При использовании комплексного метода, если целевая функция f(x) выпукла и функции gi(x) тоже выпуклы, то задача будет иметь?

Допустимый вектор x0 оптимальный тогда и только тогда, когда в двойственной задаче имеется такое допустимое решение y0, что:

Предположим, что имеется интервал неопределенности (x1; x3) и известно значение f(x2) внутри этого интервала. Положим x2–x1 = L и x3–x2 = R. Если x4 находится в интервале (x1; x2) и новым интервалом неопределенности будет (x1; x2) длиной x2–x1 = L, то в этом случае:

Решение методом Ньютона достигается за один шаг, если?

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. Согласно метода Ньютона, начальные приближения x выбирают в такой точке интервала [a; b], где выполняется условие f(x)·f''(x) > 0, т.е. наблюдается совпадение знаков:

Пусть для некоторой выпуклой вверх(вогнутой) функции f, определенной на множестве R справедливо условие: для любых x1, x2 є R и 0 ≤ k ≤ 1 f[kx1+(1–k)x2] ≤ kf(x1)+(1–k)f(x2). Тогда множество R является:

Кривая у = f(х) называется выпуклой в промежутке a